Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 22 № 1439

Находящийся на шкафу кот массой m1 = 3,0 кг запрыгивает на светильник, расположенный на расстоянии L = 100 см от шкафа (см. рис.). Начальная скорость кота направлена горизонтально. Светильник массой m2 = 2,0 кг подвешен на невесомом нерастяжимом шнуре на расстоянии H1=140 см от потолка. Расстояние от потолка до шкафа H2 = 95 см. Если пренебречь размерами кота и светильника, то максимальное отклонение светильника с котом от положения равновесия в горизонтальном направлении будет равно ... см.

Примечание. Колебания светильника с котом нельзя считать гармоническими.

Спрятать решение

Решение.

Найдём начальную скорость кота, учитывая, что она горизонтальна, а траектория проходит через светильник (пусть t — время полёта кота):

 

 система выражений v_0t=L, дробь, числитель — gt в степени 2 , знаменатель — 2 =H_1 минус H_2 конец системы равносильно система выражений v_0 в степени 2 t в степени 2 =L в степени 2 ,gt в степени 2 =2(H_1 минус H_2). конец системы

 

Поделив верхнее равенство на нижнее, получим:

 

 дробь, числитель — v_0 в степени 2 , знаменатель — g = дробь, числитель — L в степени 2 , знаменатель — 2(H_1 минус H_2) равносильно v_0 = корень из дробь, числитель — gL в степени 2 , знаменатель — 2(H_1 минус H_2) = корень из дробь, числитель — 10 умножить на 1 в степени 2 , знаменатель — 2 умножить на (1, 40 минус 0{,95)} = дробь, числитель — 10, знаменатель — 3 м/с.

 

При взаимодействии кота со светильником выполняется закон сохранения горизонтальной составляющей импульса:

 

m_1v_0=(m_1 плюс m_2)v равносильно v= дробь, числитель — m_1v_0, знаменатель — m_1 плюс m_2 = дробь, числитель — 3 умножить на \dfrac10, знаменатель — 3 3 плюс 2=2м/с.

 

Кот со светильником отклоняются в бок с начальной скоростью 2 м/с. Максимальную высоту подъёма найдём из закона сохранения энергии (пусть m=m_1 плюс m_2):

 

 дробь, числитель — mv в степени 2 , знаменатель — 2 =mgh равносильно h= дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — 2g = дробь, числитель — 2 в степени 2 , знаменатель — 2 умножить на 10 = 0,2м = 20см.

 

И наконец максимальное отклонение светильника с котом от положения равновесия в горизонтальном направлении находим по теореме Пифагора:

 

x в степени 2 плюс (H_1 минус h) в степени 2 =H_1 в степени 2 равносильно x= корень из H_1 в степени 2 минус (H_1 минус h) в степени 2 = корень из 140 в степени 2 минус (140 минус 20) в степени 2 \approx 72см.

 

Ответ: 72.