Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 28 № 1082

Тонкое проволочное кольцо радиусом r = 4,0 см и массой m = 98,6 мг, изготовленное из проводника сопротивлением R = 90 мОм, находится в неоднородном магнитном поле, проекция индукции которого на ось Ox имеет вид Bx = kx, где k = 2,0 Тл/м, x — координата. В направлении оси Ox кольцу ударом сообщили скорость, модуль которой v0 = 5,0 м/с. Если плоскость кольца во время движения была перпендикулярна оси Ox, то до остановки кольцо прошло расстояние s, равное ... см.

Спрятать решение

Решение.

При движении кольца будет изменяться проходящий через него магнитный поток. Это вызовет появление ЭДС индукции и тока в кольце. При протекании тока будет выделяться джоулево тепло. Таким образом, кинетическая энергия кольца будет тратиться на тепло пока кольцо не остановится.

Магнитный поток, проходящий через кольцо, равен \Phi=B_xS=kx Пи r в степени 2 . Поскольку k,  Пи и r в степени 2 являются константами, то ЭДС индукции, возникающая в кольце и равная скорости изменения магнитного потока, равна произведению этих констант на скорость изменения координаты, т. е. на скорость кольца:

 

\varepsilon_и = \left| дробь, числитель — \Delta \Phi, знаменатель — \Delta t | = Пи r в степени 2 kv.

 

За каждый небольшой промежуток времени \Delta t выделяется тепло

 

\Delta Q = I в степени 2 R \Delta t= дробь, числитель — \varepsilon_и в степени 2 \Delta t, знаменатель — R = дробь, числитель — Пи в степени 2 r в степени 4 k в степени 2 v в степени 2 \Delta t, знаменатель — R = дробь, числитель — Пи в степени 2 r в степени 4 k в степени 2 v \Delta x, знаменатель — R ,

 

и значит,

 

\Delta E_к = минус \Delta Q,

\Delta левая круглая скобка дробь, числитель — mv в степени 2 , знаменатель — 2 правая круглая скобка = минус дробь, числитель — Пи в степени 2 r в степени 4 k в степени 2 v \Delta x, знаменатель — R ,

mv \Delta v = минус дробь, числитель — Пи в степени 2 r в степени 4 k в степени 2 v \Delta x, знаменатель — R ,

\Delta v = минус дробь, числитель — Пи в степени 2 r в степени 4 k в степени 2 , знаменатель — mR \Delta x.

 

Изменение скорости прямо пропорционально изменению координаты, значит, v линейно зависит от x. С учётом того, что когда координата кольца была равна нулю, его скорость была равна v_0, имеем:

 

v = v_0 минус дробь, числитель — Пи в степени 2 r в степени 4 k в степени 2 , знаменатель — mR x.

 

В момент остановки скорость равна нулю, а координата равна s:

 

0 = v_0 минус дробь, числитель — Пи в степени 2 r в степени 4 k в степени 2 , знаменатель — mR s равносильно

 равносильно s= дробь, числитель — mRv_0, знаменатель — Пи в степени 2 r в степени 4 k в степени 2 = дробь, числитель — 98{,}6 умножить на 10 в степени минус 6 умножить на 0{,}09 умножить на 5, знаменатель — 3{, 14 в степени 2 умножить на 0{,}04 в степени 4 умножить на 2 в степени 2 } \approx 0{,}44м = 44см.